Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，，N為AB
上一點，AB=4AN，M，D，S分別為PB，AB，BC的中點．
（1）求證：PA∥平面CDM；
（2）求證：SN⊥平面CDM；
（3）求二面角D-MC-N的大�。�

Answer 1

（1）證明：在三棱錐P-ABC中，
因為M，D，分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA，
因為MD?平面CMD，PA?平面CMD，
所以PA∥平面CMD．
（2）證明：因為M，D，分別為PB，AB的中點，
所以MD∥PA，
因為PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，
又SN?平面ABC所以MD⊥SN．…（6分）
設(shè)PA=1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示，
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
，
所以，
因為，
所以CM⊥SN．…（9分）
又CM∩MD=M，
所以SN⊥平面CMD．…（10分）
（3）解：由（2）知，是平面CMD的一個法向量，
設(shè)平面MCN的法向量，則，
即，
所以，令，
所以，
從而，
因為二面角D-MC-N為銳角．
所以二面角D-MC-N的大小為．…..（14分）
分析：（1）在三棱錐P-ABC中，由M，D，分別為PB，AB的中點，知MD∥PA，由此能夠證明PA∥平面CMD．
（2）因為M，D，分別為PB，AB的中點，所以MD∥PA．因為PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC，又SN?平面ABC，所以MD⊥SN．設(shè)PA=1，以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），，由向量法能夠證明SN⊥平面CMD．
（3）是面CMD的一個法向量，設(shè)面MCN的法向量，由，得到，由此能求出二面角D-MC-N的大�。�
點評：本題考查PA∥平面CDM的證明，求證SN⊥平面CDM，求二面角D-MC-N的大�。�考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運用．