Question

已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線左，右焦點，以雙曲線右支上任意一點P為圓心，以|PF₁|為半徑的圓與以F₂為圓心，

1

2

|F₁F₂|為半徑的圓內(nèi)切，則雙曲線兩條漸近線的夾角是（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  π

  2

• C、

  π

  3

• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：由題意可得|PF₁|-

1

2

|F₁F₂|=|PF₂|，再由雙曲線的定義可得 2a=c，

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，
故兩漸近線的斜率分別為

3

 和-

3

，傾斜角分別為

π

3

和

2π

3

，從而得到兩條漸近線的夾角．

解答：解：由題意可得|PF₁|-

1

2

|F₁F₂|=|PF₂|，即|PF₁|-|PF₂|=c，再由雙曲線的定義可得
2a=c，∴

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，故兩漸近線的斜率分別為

3

 和-

3

，傾斜角分別為

π

3

和

2π

3

，
故兩條漸近線的夾角是

2π

3

- 

π

3

=

π

3

，
故選 C．

點評：本題考查雙曲線的定義，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，兩圓相內(nèi)切的性質(zhì)，兩漸近線的斜率和傾斜角，求得
 

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，是解題的關鍵．