Question

在(x2-

1

2x

)9的展開式中，求：
（1）第6項；  
（2）第3項的系數(shù)；
（3）常數(shù)項； 
（4）展開式中的所有二項式的系數(shù)和與各項系數(shù)和的比．

Answer 1

分析：（1）求出展開式的通項公式T_r+1=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r，由此求出第6項為T₆．
（2）由通項公式求出第3項的系數(shù)為（-1）²2^-2•C₉²．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常數(shù)項為 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展開式中的所有二項式的系數(shù)和為2⁹，令x=1可得各項系數(shù)和為(

1

2

)9，由此求得有二項式的系數(shù)和與各項系數(shù)和的比．

解答：解：（1）展開式的通項公式為 T_r+1=C₉^r （-1）^r x^18-2r （2x）^-r=（-1）^r2^-r•C₉^r•x^18-3r．
故第6項為 T₆=（-1）⁵2^-5•C₉⁵•x³=-

63

16

 x³．
（2）由通項公式求出第3項的系數(shù)為（-1）²2^-2•C₉²=9．
（3）令18-3r=0，可得r=6，故常數(shù)項為 T₇=（-1）⁶2^-6•C₉⁶=

21

16

．
（4）展開式中的所有二項式的系數(shù)和為C₉⁰+C₉¹+C₉²+…+C₉⁹=2⁹．
令x=1可得各項系數(shù)和為(

1

2

)9，故展開式中的所有二項式的系數(shù)和與各項系數(shù)和的比

29

( 1 2 )9

=2¹⁸．

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)的應用，注意所有二項式的系數(shù)和與各項系數(shù)和 之間的區(qū)別．