如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在底面ABC內(nèi)的射影O恰為線段AC的中點.

   （Ⅰ）求側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角的正弦值；

   （Ⅱ）已知點D為點B關(guān)于點O的對稱點，在直線AA1上是否存在點P，使DP∥平面AB1C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，DB，OC，OA1依次為軸、軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點A1(0,0,)，A(0,-1,0)，B(,0,0)，C(0,1,0)

   （Ⅰ），

設(shè)平面A1BC的一個法向量為

則

∴=(

設(shè)直線AA1與平面A1BC所成角為θ

則  sinθ=|cos<,>|=

即側(cè)棱AA1與平面A1BC所成角正弦值為.

   （Ⅱ）設(shè)B1(，則

∵  

∴=  ∴

∴B1,   

∴

設(shè)平面ACB1的一個法向量是，

則

∴=(-1,0,1)

假設(shè)在AA1上存在P(0,m,n)使DP∥平面AB1C,

∵D、B關(guān)于O對稱    ∴D    ∴=(,m,n)

∴=   ∴n=

故當(dāng)點P與A1重合時，DP∥平面AB1C．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．
（Ⅰ）求側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大��；
（Ⅱ）已知點D滿足
BD
=
BA
+
BC
，在直線AA1上是否存在點P，使DP∥平面AB1C？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC⊥底面ABC，

∠AAC=60°.(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大小；

(Ⅱ)已知點D滿足，在直線AA上是否存在點P，使DP∥平面ABC？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012年廣東省高二12月月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC⊥底面ABC，∠AAC=60°.

(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大小；

(Ⅱ)已知點D滿足，在直線AA上是否存在點P，使DP∥平面ABC？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高二12月份月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC⊥底面ABC，∠AAC=60°.

(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大��；

(Ⅱ)已知點D滿足，在直線AA上是否存在點P，使DP∥平面ABC？若存在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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