Question

19．如果一個n位十進制數(shù)$\overline{{a}_{1}{a}_{2…}{a}_{n}}$的數(shù)位上的數(shù)字滿足“小大小大…小大”的順序，即滿足：a₁＜a₂＞a₃＜a₄＞a₅＜a₆…，我們稱這種數(shù)為“波浪數(shù)”；從1，2，3，4，5組成的數(shù)字不重復的五位數(shù)中任取一個五位數(shù)$\overline{abcde}$，這個數(shù)為“波浪數(shù)”的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{2}{15}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{15}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得在“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字中必有一個是5、另一數(shù)是3或4；據(jù)此分2種情況討論，分別求出每種情況下的“波浪數(shù)”的個數(shù)，由分類計數(shù)原理計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分析可得在“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)字中必有一個是5、另一數(shù)是3或4；
另一數(shù)是4時，將5與4放在千位、十位上，有A₂²種情況，剩余的1、2、3放在其余三個數(shù)位上，有A₃³種情況，
則此時的“波浪數(shù)”有A₂²A₃³=12個；
另一數(shù)3時，4、5必須相鄰，有45132；45231；13254；23154四個“波浪數(shù)”．
則由1，2，3，4，5可構(gòu)成數(shù)字不重復的五位“波浪數(shù)”個數(shù)為12+4=16；
可得：這個數(shù)為“波浪數(shù)”的概率是$\frac{16}{5×4×3×2×1}$=$\frac{2}{15}$．
故選：B．

點評 本題考查排列組合及簡單計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是理解“波浪數(shù)”的含義，進而轉(zhuǎn)化為排列、組合問題．