Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析與定義域；
（2）設(shè)F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x），求F（x）在[

1

9

，9]上的最大值及其相對應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把A（2，1）、B（5，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）的解析式，可得a、b的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）設(shè)t=log₃x，F(xiàn)（x）可轉(zhuǎn)化為y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大值及其相對應(yīng)的x值．

解答： 解：（1）把圖象中A（2，1）、B（5，2）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）=log₃（ax+b），
化簡可得2a+b=3 且5a+b=9，解得a=2，b=-1，
故f（x）=log3（2x-1），令2x-1＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?span id="0iomg42" class="MathJye">

1

2

，+∞）．
（2）F（x）=log₃（

x

9

）•log₃（3x）=（log₃x-2）•（log₃x+1），
設(shè)t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，則-2≤t≤2，∴F（x）可轉(zhuǎn)化為y=t²-t-2=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，y_min=-

9

4

，此時(shí)x=3；當(dāng)t=-2時(shí)，y_max=4，此時(shí)x=

1

9

．
綜上知，當(dāng)x=

1

9

時(shí)，最大值為F（

1

9

）=4．

點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)的用用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．