【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F(xiàn)分別為PC,CD的中點(diǎn),DE=EC.

(1)求證:平面ABE⊥平面BEF;
(2)設(shè)PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角 ,求a的取值范圍.

【答案】
(1)證明:如圖,

∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F(xiàn)為CD的中點(diǎn),

∴ABFD為矩形,AB⊥BF.

∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE面ABE,

∴平面ABE⊥平面BEF


(2)解:∵DE=EC,∴DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD

又AB⊥PD,所以AB⊥面PAD,AB⊥PA.

以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系,

則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E(1,1,

平面BCD的法向量 ,

設(shè)平面EBD的法向量為 ,

,即 ,取y=1,得x=2,z=

所以

因?yàn)槠矫鍱BD與平面ABCD所成銳二面角 ,

所以cosθ∈ ,即

得:

得:

所以a的取值范圍是


【解析】(1)由題目給出的條件,可得四邊形ABFD為矩形,說(shuō)明AB⊥BF,再證明AB⊥EF,由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根據(jù)面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;(2)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系,利用平面法向量所成交與二面角的關(guān)系求出二面角的余弦值,根據(jù)給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍,最后求解不等式可得a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案.

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④若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且f(al)+f(a2)+f(a3)=3π,則a2=π.
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A.偶函數(shù)且在x=0處取得最大值
B.偶函數(shù)且在x=0處取得最小值
C.奇函數(shù)且在x=0處取得最大值
D.奇函數(shù)且在x=0處取得最小值

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