Question

如圖2-1-19,空間四邊形ABCD中,AB=AD=2,BC=DC=1,AD和BC所成角為60°,E、F分別為AB、CD邊的中點,求AB和CD所成的角及EF的長.

圖2-1-19

Answer 1

思路解析:為了求異面直線所成的角,一般我們都要分別作兩條直線的平行直線且使所得的兩條直線相交,這樣所得直線的交角就是兩異面直線所成的角或其補角.而求EF的長則要作△CAD和△CAB的中位線,在得到的△EFM中利用余弦定理后得到.

解:如圖2-1-18,過C作CP∥AB,并取CP=AB=2,連結(jié)AP.

過P作PQ∥CD,取PQ=CD=1,連結(jié)QD,則四邊形ABCP、CDQP均為平行四邊形.

連結(jié)PD、AC,于是可得△PAD≌△DCP,故∠DCP=∠PAD.

(1)當∠DAP為銳角時,∠DCP、∠PAD分別為異面直線AB和CD,AD和BC所成的角,這時∠DCP=∠PAD=60°.

(2)當∠DAP為鈍角時,∠DCP=∠PAD=120°,這時AB和CD所成角為∠DCP的補角,為60°.

連結(jié)AC,取AC中點M,連結(jié)EM、FM,則FMAD,MEBC,

∴∠EMF為異面直線AD和BC所成的角或其補角.

若∠EMF=60°,則在△EFM中,由余弦定理得

EF²=()²+1²-2××1×cos60°=,即EF=;

若∠EMF=120°,則在△EFM中,由余弦定理得

EF²=()²+1²-2××1×cos120°=,即EF=.

綜上所述,AB和CD所成的角為60°,EF的長為或.