Question

已知函數f(x)=

ax-1

x+1

，  其中 a∈R．
（1）當a=1時，求函數滿足f（x）≤1時的x的集合；
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調減函數．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）≤1?

x-1

x+1

≤1，解這個分式不等式即可
（2）依據減函數的定義，對（0，+∞）上的任意x₁，x₂，當x₂＞x₁時，總有f（x₂）＜f（x₁），則f（x）就為（0，+∞）上的單調減函數，由f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

恒小于零，即可得a的取值范圍

解答：解：（1）當a=1時，f（x）≤1⇒

x-1

x+1

≤1⇒x＞-1，
故滿足條件的集合為{x|x＞-1}．
（2）在區(qū)間（0，+∞）上任取x₁，x₂，
則f(x2)-f(x1)=

ax2-1

x2+1

-

ax1-1

x1-1

=

(a+1)(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
因x₂＞x₁故x₂-x₁＞0，又在（0，+∞）上x₂+1＞0，x₁+1＞0，
∴只有當a+1＜0時，即a＜-1時，才總有f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴當a＜-1時，f（x）在（0，+∞）上是單調減函數．

點評：本題考查了簡單分式不等式的解法，單調性的定義及運用，解題時要有較強的代數變換能力，能熟記定義，并熟練應用