Question

在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b=1，c=2．
（1）若A=60°，求△ABC外接圓的半徑R
（2）若BC邊上的中線長為

3

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由條件利用余弦定理求得a的值，再利用正弦定理求得△ABC外接圓的半徑R．
（2）設BC邊中點為O，BO=CO=x，在△ABO、△ACO中，分別利用余弦定理求得cos∠AOB和cos∠AOC的解式，再根據(jù)cos∠AOB+cos∠AOC=0，求得x的值，利用余弦定理求得cosA的值，再根據(jù)S△ABC=

1

2

•bc•sinA求得
△ABC的面積．

解答：解：（1）∵△ABC中，b=1，c=2，A=60°，
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=1+4-2×1×2×cos60°=3，∴a=

3

．
又2R=

a

sinA

=

3

sin60°

=2，∴△ABC外接圓的半徑R=1．
（2）設BC邊中點為O，且BO=CO=x，在△ABO，△ACO中，cos∠AOB=

x2+( 3 2 )2-22

2x• 3 2

=

x2- 13 4

3 •x

，
cos∠AOC=

x2- 1 4

3 •x

，∵∠AOB+∠AOC=π，∴cos∠AOB+cos∠AOC=0，
解得 x=

7

2

，∴a=BC=

7

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴∠A=120°，∴S△ABC=

1

2

•bc•sinA=

1

2

×1×2×

3

2

=

3

2

．

點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，注意利用cos∠AOB+cos∠AOC=0這個條件，屬于中檔題．