Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，設直線l經過點P（3，），且與x軸交于點F（2,0）．

（1）求直線l的方程；

（2）如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程；

（3）若在（Ⅰ）（Ⅱ）的情況下，設直線l與橢圓的另一個交點Q，且,當｜｜最小時，求對應值．

Answer 1

（1）∵P（3，），F（2,0），

∴根據兩點式得，所求直線l的方程為=

即y=（x-2）．

∴直線l的方程是y=（x-2）．

（2）解法一：設所求橢圓的標準方程為=1（a>b>b）,

∵一個焦點為F（2,0），

∴c=2．

即a²-b²=4     ①

∵點P（3，）在橢圓=1（a>b>0）上，

∴=1  ②

由①，②解得a²=12,b²=8．

所以所求橢圓的標準方程為=1．

解法二：設所求橢圓的標準方程為=1（a>b>0）,

∵c=2,a²-b²=4．    ∴橢圓的另一個焦點為F₁（-2,0）．

由橢圓過點P（3，），

∴2a=|PF₁|+|PF₂|=+=4．

∴a²=12,b²=8．

所以所求橢圓的標準方程為=1．

（3）解法一：由題意得方程組

解得或

∴Q（0，2）．

=（-3,-3）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴=+=（3-3λ，,3λ）．

∴||=

       ==，

∴當λ=時，||最小．

解法二：由題意得方程組解得或

∴Q（0，-2）．

∵=λ=（-3λ，3λ），

∴點M在直線PQ上，∴||最小時，必有OM⊥PQ．

∴k_OM=-=-．

∴直線OM的方程為y=-x．

直線OM與PQ的交點為方程組的解，解之得

∴M（，-），∴=（-，-）

∵=λ，即（-，-）=λ（-3，-3），∴λ=．

∴當λ=時，||最�。�