如圖所示,某人想制造一個支架,它由四根金屬桿構(gòu)成,其底端三點
均勻地固定在半徑為
的圓
上(圓
在地面上),
三點相異且共線,
與地面垂直. 現(xiàn)要求點
到地面的距離恰為
,記用料總長為
,設(shè)
.
(1)試將表示為
的函數(shù),并注明定義域;
(2)當(dāng)的正弦值是多少時,用料最��?
(1),
;(2)
.
【解析】
試題分析:(1)由已知三點相異且共線,
與地面垂直,且三點
均勻地固定在半徑為
的圓
上,所以
是全等的直角三角形,從而有
,進而可得
,再由點
到地面的距離恰為
得
;從而由
可將L表示為
的函數(shù);其定義域由圖形可知:
,而當(dāng)PH最短時角
為最大,但由于
三點相異,所以
小于該最大值,從而求得其定義域;(2)用料最省,即L取得最小值;由(1)的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)方法來求使其取得最小值的
的值:先求出L的導(dǎo)函數(shù),再令其等于零求出對應(yīng)的
的值,再討論函數(shù)的單調(diào)性就可確定
的值.
試題解析:(1)因與地面垂直,且
,則
是全等的直角三角形,又圓
的半徑為3,
所以,
, 3分
又,所以
, 6分
若點重合,則
,即
,所以
,
從而,
. 7分
(2)由(1)知,
所以,當(dāng)
時,
, 11分
令,
,當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
;
所以函數(shù)L在上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增, 15分
所以當(dāng),即
時,L有最小值,此時用料最省. 16分
考點:1.函數(shù)的應(yīng)用;2.函數(shù)最值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市畢業(yè)班摸底測試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知實數(shù)x,y滿足,則z=4x+y的最大值為( )
A、10 B、8 C、2 D、0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省成都市高三九月月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若變量x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值等于( )
A.7 B.8 C.10 D.11
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
定義在上的奇函數(shù)
,當(dāng)
≥0時,
則關(guān)于的函數(shù)
(0<
<1)的所有零點之和為( �。�.
A、1- B、
C、
D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下列命題錯誤的是 ( )
A、命題“若,則方程
有實數(shù)根”的逆否命題為“若方程
無實數(shù)根,則
”
B、“ ”是“
”的充分不必要條件
C、對于命題,使得
,則
,均有
D、若為假命題,則
均為假命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省內(nèi)江市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),記不等式
的解集為
.
(1)當(dāng)時,求集合
;
(2)若,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川省內(nèi)江市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知平面向量滿足
,
,
,則向量
夾角的余弦值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆四川成都樹德中學(xué)高二3月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:①設(shè)為兩個定點,
為非零常數(shù),
,則動點
的軌跡為雙曲線;②過定圓
上一定點
作圓的動點弦
,
為坐標(biāo)原點,若
則動點
的軌跡為圓;③
,則雙曲線
與
的離心率相同;④已知兩定點
和一動點
,若
,則點
的軌跡關(guān)于原點對稱.
其中真命題的序號為 (寫出所有真命題的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆吉林省長春市新高三起點調(diào)研考試理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
在△中,三個內(nèi)角
、
、
所對的邊分別為
、
、
,且
.
(1)求角;
(2)若△的面積
,
,求
的值.
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