已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線的焦點，點M（
p2
，p）；
（1）設(shè)過F且斜率為1的直線L交拋物線C于A、B兩點，且|AB|=8，求拋物線的方程；
（2）過點M作斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交拋物線C于除M之外的D、E兩點．求證：直線DE的斜率為定值．
分析：（1）根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據(jù)點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)韋達定理，結(jié)合拋物線的定義，即可求拋物線的方程；
（2）設(shè)出直線方程代入拋物線方程，求出D，E的坐標，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：拋物線焦點為（
p
2
，0），且斜率為1，則直線方程為y=x-
p
2
，
代入拋物線方程y2=2px得x2-3px+
p2
4
=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=3p
根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p=4p=8，∴p=2
∴拋物線的方程為y2=4x；
（2）證明：由（1）知M（1，2），設(shè)MD：x=my+1-2m，則ME：x=-my+1+2m
MD：x=my+1-2m，代入y2=4x，可得y2-4my-4+8m=0，∴y=2或y=4m-2，∴D（4m2-4m+1，4m-2）
同理E（4m2+4m+1，-4m-2）
∴直線DE的斜率為
4m-2+4m+2
4m2-4m+1-(4m2+4m+1)
=-1
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F(xiàn)為拋物線C的焦點，A為拋物線C上的動點，過A作拋物線準線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點P（0，4）與點F的連線恰好過點A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設(shè)點M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點M，不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若
MA
•
MB
=0，則k=（　　）

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