Question

10．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，B₁C的中點(diǎn)為O，且AO⊥平面BB₁C₁C．
（1）證明：B₁C⊥AB；
（2）若AC⊥AB₁，∠CBB₁=60°，BC=2，求B₁到平面ABC的距離．

Answer 1

分析 （1）要證B₁C⊥AB，即證B₁C⊥平面ABC₁，由菱形的對(duì)角線垂直和線面垂直的性質(zhì)，即可得證；
（2）由棱錐的體積公式，利用${V}_{{B}_{1}-ACB}$=${V}_{A-CB{B}_{1}}$，即可得到B₁到平面ABC的距離．

解答 （1）證明：連結(jié)BC₁，則BC₁與B₁C交于O，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵AO⊥平面BB₁C₁C，∴B₁C⊥AO
又∵BC₁∩AO=O，
∴B₁C⊥平面ABO，
由于AB?平面ABO，∴B₁C⊥AB（5分）
（2）解：設(shè)點(diǎn)B₁ 到平面ABC 的距離為h，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，BC=2，
∴△CBB₁為等邊三角形，
∴BC=BB₁=B₁C=2，BO=$\sqrt{3}$
∵AC⊥AB₁，∴$OA=\frac{1}{2}{B_1}C=1，AC=\sqrt{2}$，
Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∵${V}_{{B}_{1}-ACB}$=${V}_{A-CB{B}_{1}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×1$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴點(diǎn)B₁ 到平面ABC 的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的性質(zhì)和判定定理及運(yùn)用，考查棱錐的體積公式和運(yùn)用，考查B₁到平面ABC的距離的計(jì)算，屬于中檔題．