（2012•湖北模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosB=
3
4
．
（Ⅰ）求sin2B+cos2
A+C
2
的值；
（Ⅱ）若b=
3
，求△ABC面積的最大值．
分析：（Ⅰ）通過(guò)cosB=
3
4
求出sinB=
7
4
，利用二倍角以及三角形的內(nèi)角和化簡(jiǎn)sin2B+cos2
A+C
2
，即可求出它的值；
（Ⅱ）利用b=
3
，結(jié)合余弦定理，求出a，c的關(guān)系，通過(guò)基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面積最大值．
解答：（本小題滿分13分）
解：（I）因?yàn)?span id="7dbxrjp" class="MathJye">cosB=
3
4
，所以sinB=
7
4
．…（1分）
又sin2B+cos2
A+C
2
=2sinBcosB+cos2
π-B
2
=2sinBcosB+
1
2
(1-cosB)
=2×
7
4
×
3
4
+
1
8
=
1+3
7
8
．…（6分）
（II）由已知得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
3
4
，…（7分）
又因?yàn)?span id="xjr3f35" class="MathJye">b=
3
，所以a2+c2-3=
3
2
ac．…（8分）
又因?yàn)?span id="r73nbd9" class="MathJye">a2+c2=
3
2
ac+3≥2ac，
所以ac≤6，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=
6
時(shí)，ac取得最大值．…（11分）
此時(shí)S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
×6×
7
4
=
3
7
4
．
所以△ABC的面積的最大值為
3
7
4
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過(guò)點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，點(diǎn)P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個(gè)單位得到，這兩個(gè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北模擬）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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