Question

已知函數(shù)f（x）=2cos(x+

π

3

)[sin(x+

π

3

)-

3

cos(x+

π

3

)]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程m[f（x）+

3

]+2=0在x∈[0，

π

6

]內(nèi)有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先利用和差公式把函數(shù)解析式化成標準形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的值域求f（x）的值域；
（2）根據(jù)x的范圍求出[f（x）+

3

]的范圍，然后由m[f（x）+

3

]+2=0知，m≠0，f（x）+

3

=-

2

m

，只須讓

3

≤-

2

m

≤2即可．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（2x+

π

3

）-

3

．
∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1．
∴-2-

3

≤2sin（2x+

π

3

）-

3

≤2-

3

，T=

2π

2

=π，
即f（x）的值域為[-2-

3

，2-

3

]，最小正周期為π．…（7分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
故sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
此時f（x）+

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]．
由m[f（x）+

3

]+2=0知，m≠0，∴f（x）+

3

=-

2

m

，
即

3

≤-

2

m

≤2，
即

2 m + 3 ≤0 2 m +2≥0

，解得-

2 3

3

≤m≤-1．即實數(shù)m的取值范圍是[-

2 3

3

，-1]．

點評：本題考查了三解函數(shù)式的化簡及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把函數(shù)解析式化成標準形式，在求解函數(shù)的值域時注意x的取值范圍．把方程有解問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題解決．