Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且an=4+(-

1

2

)n-1，若對任意n∈N^*，都有1≤p（S_n-4n）≤3，則實數(shù)p的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，從而p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，進而

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，由此根據(jù)n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況進行分類討論，能求出實p的取值范圍．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且an=4+(-

1

2

)n-1，
∴Sn=4n+

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
∴p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，
由p（S_n-4n）∈[1，3]得1≤

2p

3

[1-(-

1

2

)n]≤3，
∵1-（-

1

2

）ⁿ＞0，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1+( 1 2 )n

隨n的增大而遞增，且0＜

1

1-(- 1 2 )n

＜1，
當(dāng)n為偶數(shù)時，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1-( 1 2 )n

隨n的增大而遞減，且

1

1-(- 1 2 )n

＞1，
∴

1

1-(- 1 2 )n

的最大值為

4

3

，

3

1-(- 1 2 )n

的最小值為2．  
由

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，得

4

3

≤

2p

3

≤2，
解得2≤p≤3，
∴所求實p的取值范圍是[2，3]．
故答案為：[2，3]．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意等比數(shù)列性質(zhì)、分類討論思想、不等式性質(zhì)的合理運用．