【答案】
分析:(1)平行四邊形中,根據(jù)題中數(shù)據(jù)證出△ADE是正三角形,可得DE=2.△CBE中,根據(jù)余弦定理算出CE=2
,從而△CDE中,利用勾股定理的逆定理證出EC⊥DE.再由PE⊥EC結(jié)合線面垂直判定定理,即可證出EC⊥平面PDE;
(2)分別取PC、PD中點F、G,連結(jié)BF、FG、CG.利用△PCD的中位線和平行四邊形ABCD的性質(zhì),證出BE∥FG且BE=FG,得四邊形BEGF是平行四邊形,所以BF∥EG,根據(jù)線面平行判定定理,證出BF∥面PDE.因此,在PC上存在一個定點F,當F為PC的中點時,始終有BF∥面PDE.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD=BC=2,∠A=180°-∠ABC=60°
∵AB=4,E是AB中點,∴AE=AD=2,得△ADE是正三角形,可得DE=2
∵△CBE中,BE=BC=2,∠B=120°,
∴根據(jù)余弦定理,得CE=
=2
因此,△CDE中,DE
2+CE
2=16=CD
2,可得∠DEC=90°,即EC⊥DE
又∵PE⊥EC,PE、DE是平面PDE內(nèi)的相交直線,∴EC⊥平面PDE;
(2)分別取PC、PD中點F、G,連結(jié)BF、FG、CG
∵△PCD中,F(xiàn)、G分別是PC、PD中點
∴FG∥CD且FG=
CD,
又∵平行四邊形ABCD中,BE∥CD且BE=
CD,
∴BE∥FG且BE=FG,可得四邊形BEGF是平行四邊形
∴BF∥EG
∵BF?平面PDE,EG?平面PDE,∴BF∥面PDE
因此,在PC上存在一個定點F,當F為PC的中點時,始終有BF∥面PDE.
點評:本題將一個平行四邊形進行折疊,探索空間的線面垂直與線面平行的問題.著重考查了直線與平行垂直的判定與性質(zhì)、線面平行判定定理等知識,屬于中檔題.