Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞3時，證明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用點(diǎn)斜式寫切線方程．
（Ⅱ）求導(dǎo)，令f′（x）=0，再考慮f（x）的單調(diào)性，求極值即可．
（Ⅲ）有（Ⅱ）可知當(dāng)a＞3時f（x）為單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分離參數(shù)求解即可．

解答：解：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，且f'（x）=-3x²+4x-1，f'（2）=-5．
所以，曲線y=-x（x-1）²在點(diǎn)（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²xf'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）若a＞0，當(dāng)x變化時，f'（x）的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，當(dāng)x變化時，f'（x）的正負(fù)如下表：

因此，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0；
函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極大值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3．

（Ⅲ）證明：由a＞3，得

a

3

＞1，當(dāng)k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
設(shè)g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，則函數(shù)g（x）在R上的最大值為2．
要使①式恒成立，必須k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．
所以，在區(qū)間[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．

點(diǎn)評：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、曲線的切線方程，函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．