在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a
n}中,已知a
3=4,前三項的和為28.
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{b
n}滿足:b
n=log
2a
n,b
1+b
2+…+b
n=S
n,求
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取最大時n的值.
【答案】
分析:(Ⅰ)設(shè)公比為q,由題設(shè)知
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,解得
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,或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/2.png)
.(舍).由此能求數(shù)列{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)b
n=log
2a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/3.png)
=5-n.S
n=4+3+2+…+(5-n)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/4.png)
.所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/5.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/6.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/7.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/8.png)
.由此能求出
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取最大時n的值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)公比為q,則有a
3=4,前三項的和為28,
知
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,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/11.png)
,或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/12.png)
.
∵等比數(shù)列{a
n}各項都為正數(shù),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/13.png)
不合題意,舍去.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/14.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/15.png)
.
(Ⅱ)∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/16.png)
,
∴b
n=log
2a
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/17.png)
=5-n.
S
n=b
1+b
2+…+b
n=4+3+2+…+(5-n)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/18.png)
.
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/19.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/20.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/21.png)
+…+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/22.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/23.png)
=-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/24.png)
)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/25.png)
.
∴n=4時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124941601791163/SYS201310251249416017911016_DA/26.png)
取最大值8.
點評:本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì).即在等比數(shù)列中,依次每k項之和仍成等比數(shù)列.解題時要認(rèn)真審題,注意配方法的靈活運用.
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a5a6=,則log
3a
1+log
3a
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3a
10=
.
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n,b
1+b
2+…+b
n=S
n,求
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