Question

18．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-2x²+cx在R上單調遞增且ac≤4，則$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$的最小值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意，f'（x）≥0恒成立，可求出關于a，c的不等式，聯(lián)立ac≤4，化簡$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$并求出其最小值．

解答 解：由題意，
因為函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-2x²+cx在R上單調遞增，
所以f'（x）=ax²-4x+c≥0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac≤0}\end{array}\right.$，
所以ac≥4，
又因為ac≤4，
所以ac=4且a＞0，c＞0，
$\frac{a}{{c}^{2}+4}$+$\frac{c}{{a}^{2}+4}$=$\frac{a}{{c}^{2}+ac}+\frac{c}{{a}^{2}+ac}$=$\frac{a}{c（c+a）}+\frac{c}{a（c+a）}$
=$\frac{1}{c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{c+a}$=（$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$）-$\frac{2}{c+a}$≥$2\sqrt{\frac{1}{ac}}-\frac{2}{2\sqrt{ac}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
故選：C．

點評 本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調性，基本不等式等內容，解題關鍵是將函數(shù)單調性問題轉化為恒成立問題，以及觀察式子將其轉化為與已知條件相關的形式即轉化為與ac=4相關的問題．難度屬于中上檔．