已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+2x在x=-1及x=2處取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)+x3-2x2-x+t=0在區(qū)間[
12
,2]
上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)在x=-1,x=2處取得極值的必要條件是
f(-1)=0
f(2)=0
,再分別驗證f(x)在x=-1、x=2的附近異號即可.
(2)方程f(x)+x3-2x2-x+t=
2
3
x3-
3
2
x2+x+t=0
在區(qū)間[
1
2
,2]
上恰有兩個不相等的實數(shù)根?方程
2
3
x3-
3
2
x2+x=-t
在區(qū)間[
1
2
,2]
上恰有兩個不相等的實根,
再令g(x)=
2
3
x3-
3
2
x2+x
x∈[
1
2
,2]
,通過對函數(shù)g(x)求導(dǎo),得出其單調(diào)區(qū)間,并求出在區(qū)間[
1
2
,2]
上的值域,進而即可得出答案.
解答:解:(1)∵f′(x)=3ax2+2bx+2,又∵f(x)在x=-1,x=2處取得極值,
f(-1)=0
f(2)=0
3a-2b+2=0
12a+4b+2=0
a=-
1
3
b=
1
2
,經(jīng)驗證a、b的值滿足題意;
(2)方程f(x)+x3-2x2-x+t=
2
3
x3-
3
2
x2+x+t=0
在區(qū)間[
1
2
,2]
上恰有兩個不相等的實數(shù)根,即方程
2
3
x3-
3
2
x2+x=-t
在區(qū)間[
1
2
,2]
上恰有兩個不相等的實根,
令g(x)=
2
3
x3-
3
2
x2+x
,x∈[
1
2
,2]
,則g′(x)=2x2-3x+1,
令g′(x)=0解得x=
1
2
或x=1;當x變化時,g′(x),g(x)的變化列表如下:
x
1
2
(
1
2
,1)
1 (1,2) 2
g′(x) 0 - 0 +
g(x)
5
24
極小值
1
6
4
3
要使g(x)=-t在x∈[
1
2
,2]
上有兩個不相等實根,則應(yīng)滿足
1
6
<-t≤
5
24
,
即t的取值范圍為[-
5
24
,-
1
6
)
點評:把問題正確轉(zhuǎn)化和熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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