【題目】在四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求的長(zhǎng)度；

（Ⅲ）求直線與所成角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）的長(zhǎng)度等于.（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）在以中，利用中位線定理證明，再由線面平行的判定定理得證；

（Ⅱ）由已知說(shuō)明，，兩兩垂直，進(jìn)而可建立空間直角坐標(biāo)系，再分別表示點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示，的坐標(biāo)，由向量垂直的數(shù)量積為零構(gòu)建方程求得答案；

（Ⅲ）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角的余弦值.

（Ⅰ）證明：由已知，四棱柱中，四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，分別是，的中點(diǎn).

所以中，.

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>平面，，

所以平面，所以，，

又正方形中，所以以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，所以，，，，

，.

因?yàn)?/span>，所以，

解得，所以的長(zhǎng)度等于.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

設(shè)直線與所成角為，

所以.

即直線與所成角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)時(shí)，是否存在，使得成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年席卷全球的新冠肺炎給世界人民帶來(lái)了巨大的災(zāi)難，面對(duì)新冠肺炎，早發(fā)現(xiàn)、早診斷、早隔離、早治療是有效防控疾病蔓延的重要舉措之一.某社區(qū)對(duì)位居民是否患有新冠肺炎疾病進(jìn)行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進(jìn)行口拭子核酸檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果成陽(yáng)性者，再到醫(yī)院做進(jìn)一步檢查，己知隨機(jī)一人其口拭子核酸檢測(cè)結(jié)果成陽(yáng)性的概率為%，且每個(gè)人的口拭子核酸是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立.

（1）假設(shè)該疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈陽(yáng)性的概率為%，設(shè)這位居民中有一位的口拭子核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性，求該居民可以確診為新冠肺炎患者的概率；

（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，口拭子核酸檢測(cè)采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量，具體操作如下：將位居民分成若干組，先取每組居民的口拭子核酸混在一起進(jìn)行檢測(cè)，若結(jié)果顯示陰性，則可斷定本組居民沒(méi)有患病，不必再檢測(cè)；若結(jié)果顯示陽(yáng)性，則說(shuō)明本組中至少有一位居民患病，需再逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：

方案一：將位居民分成組，每組人；

方案二：將位居民分成組，每組人；

試分析哪一個(gè)方案的工作量更少？

（參考數(shù)據(jù)：，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為6,離心率為，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱．給出下面四個(gè)結(jié)論：①將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；③；④在區(qū)間上單調(diào)遞增．其中正確的結(jié)論為（ ）

A.①②B.②③C.②④D.①④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知A，B是橢圓C：)的左右頂點(diǎn)，P點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，且

（1）若橢圓C經(jīng)過(guò)了圓的圓心，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在（1）的條件下，拋物線D：的焦點(diǎn)F與點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)對(duì)稱，且拋物線D與橢圓C在第四象限交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作直線與拋物線D有唯一公共點(diǎn)，求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，若PF⊥x軸，且△POF（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為1.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若C上的兩動(dòng)點(diǎn)A，B（A，B在x軸異側(cè)）滿足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（其中）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對(duì)于下列判斷：

①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；

②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心；

③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．

其中所有正確的判斷是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.②

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