Question

已知函數f（x）=log_a

x-2

bx+2

（a＞0且a≠1）為奇函數．
（1）求b的值；
（2）判斷f（x）在（2，+∞）上的單調性；
（3）若f（x）=log_a

x-2

bx+2

（0＜a＜1）的定義域為[m，n]，值域為[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]．
①求a的取值范圍；
②求證：n＞4．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由函數f（x）=log_a

x-2

bx+2

（a＞0且a≠1）為奇函數，利用f（-x）+f（x）=0求得b的值；
（2）把（1）中求得的b的值代入函數解析式，求出函數的定義域，由內函數g（x）=

x-2

x+2

在（2，+∞）上的單調性，結合復合函數的單調性可得0＜a＜1和a＞1時f（x）在（2，+∞）上的單調性；
（3）①由f（x）（2，+∞）上為減函數，結合定義域為[m，n]，值域為[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]得到

loga m-2 m+2 =logaa(m-1) loga n-2 n+2 =logaa(n-1)

，即am²+（a-1）m-2a+2=0，an²+（a-1）n-2a+2=0，說明m，n為方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的兩同號實數根，由此列不等式組求得a的范圍；
②由m，n為方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的兩同號實數根，且log_aa（m-1）有意義可得n＞m＞2，再由方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的對稱軸方程為x=-

a-1

2a

=

m+n

2

，得m+n=

1

a

-1，結合a的范圍可得n的范圍．

解答： （1）解：∵函數f（x）=log_a

x-2

bx+2

（a＞0且a≠1）為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=loga

-x-2

-bx+2

+log_a

x-2

bx+2

=loga

4-x2

4-b2x2

=0，
即

4-x2

4-b2x2

=1，∴b²=1，b=±1．
當b=-1時

x-2

-x+2

=-1＜0不合題意，∴b=1；
（2）解：f（x）=loga

x-2

x+2

，由

x-2

x+2

＞0，得x＜-2或x＞2．
令g（x）=

x-2

x+2

=

x+2-4

x+2

=1-

4

x+2

，在（2，+∞）上為增函數．
∴當0＜a＜1時，f（x）=loga

x-2

x+2

在（2，+∞）上為減函數；
當a＞1時，f（x）=loga

x-2

x+2

在（2，+∞）上為增函數；
（3）①解：f（x）=log_a

x-2

bx+2

=loga

x-2

x+2

（0＜a＜1）在（-∞，-2），（2，+∞）上為減函數，
由定義域為[m，n]，值域為[log_aa（n-1），log_aa（m-1）]，得

loga m-2 m+2 =logaa(m-1) loga n-2 n+2 =logaa(n-1)

，
∴am²+（a-1）m-2a+2=0，an²+（a-1）n-2a+2=0．
則m，n為方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的兩同號實數根．
則

0＜a＜1 -2a+2 a ＞0 (a-1)2-4a(-2a+2)＞0

，解得：0＜a＜

1

9

；
②證明：由m，n為方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的兩同號實數根，且log_aa（m-1）有意義可得n＞m＞2，
方程ax²+（a-1）x-2a+2=0的對稱軸方程為x=-

a-1

2a

=

m+n

2

，
∴m+n=

1

a

-1，
∵0＜a＜

1

9

，∴

1

a

-1＞8．
即m+n＞8，由2＜m＜n，
則n＞4．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性的性質，考查了由函數的單調性求函數的值域，考查了二次函數的對稱性的性質，是中檔題．