Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²+tx+1），（t為常數(shù)，且t＞-2）
（1）當t=2時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當x∈[0，2]時，求f（x）的最小值（用t表示）；
（3）是否存在不同的實數(shù)a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,存在型,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由x²+2x+1＞0即可得到f（x）的定義域為{x|x≠-1，且x∈R}；
（2）令g（x）=x²+tx+1，要求函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，只要求解函數(shù)g（x）的最小值即可，結(jié)合圖象，需判斷對稱軸與區(qū)間[0，2]的位置關(guān)系，分類討論①-

t

2

≤0②0＜-

t

2

＜2③-

t

2

≥2；
（3）假設(shè)存在，則由已知得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b 0＜a，b＜2 a≠b

等價于x²+tx+1=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，
分離參數(shù)，得t=-（

1

x

+x）+1，x∈（0，2），運用導數(shù)求出右邊的最值和范圍，結(jié)合圖象即可判斷．

解答： 解：（1）當t=2時，f（x）=lg（x²+2x+1），
x²+2x+1＞0⇒f（x）的定義域為{x|x≠-1，且x∈R}；
（2）令g（x）=x²+tx+1對稱軸為x=-

t

2

，
①當-

t

2

≤0，即t≥0時，g（x）_min=g（0）=1∴f（x）_min=0
②當0＜-

t

2

＜2，即-4＜t＜0時，g（x）_min=g（-

t

2

）=1-

t2

4

，考慮到g（x）＞0，則
1°-2＜t＜0，f（x）_min=f（-

t

2

）=lg（1-

t2

4

），
2°-4＜t≤-2，沒有最小值．
③當-

t

2

≥2，即t≤-4時，g（x）_min=g（2）=5+2t，
考慮到g（x）＞0∴f（x）沒有最小值．
綜上所述：當t≤-2時f（x）沒有最小值；
當t＞-2時f（x）=

lg(1- t2 4 )，-2＜t＜0 0，t≥0

．
（3）假設(shè)存在，則由已知得

a2+ta+1=a b2+tb+1=b 0＜a，b＜2 a≠b

等價于x²+tx+1=x在區(qū)間（0，2）上有兩個不同的實根，
等價于t=-（

1

x

+x）+1，x∈（0，2），
t′=-1+

1

x2

，x∈（0，1），t′＞0；x∈（1，2），t′＜0．
x=1取最大值-1．x=2，t=-

3

2

．
可得-

3

2

＜t＜-1．
故存在，實數(shù)t的取值范圍是（-

3

2

，-1）．

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)定義域的求解，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意考慮對稱軸與區(qū)間位置關(guān)系的討論，二次方程的實根分布問題的應(yīng)用，本題的綜合性比較強．