Question

已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a²+b²+c²的最小值為M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式|x+4|-|x-1|≥M．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式,絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=9，從而求得a²+b²+c²的最小值為M．
（Ⅱ）把不等式|x+4|-|x-1|≥3等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=9，
故a²+b²+c² ≥3，即a²+b²+c²的最小值為M=3．
（Ⅱ）由不等式|x+4|-|x-1|≥3，可得

x＜-4 -5≥3

①，或

-4≤x＜1 2x+3≥3

 ②，或

x≥1 5≥3

③．
解①求得 x∈∅，解②求得 0≤x＜1，解③求得x≥1，
綜上可得，不等式的解集為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．