已知函數f(x)=log2(x+m),m∈R
( I)若f(1),f(2),f(4)成等差數列,求m的值;
( II)若a、b、c是兩兩不相等的正數,且a、b、c依次成等差數列,試判斷f(a)+f(c)與2f(b)的大小關系,并證明你的結論.
【答案】
分析:(1)把x=1,2及4代入函數解析式,表示出f(1),f(2),及f(4),由f(1),f(2),f(4)成等差數列,根據等差數列的性質列出股關系式,利用對數的運算法則化簡,即可求出m的值;
(2)f(a)+f(c)小于2f(b),理由為:根據a、b、c是兩兩不相等的正數,且a、b、c依次成等差數列,設出公差為d,用b和d表示出a及c,要比較f(a)+f(c)與2f(b)的大小關系,可利用作差法進行,方法是表示出f(a)+f(c)-2f(b),利用對數的運算法則化簡后,真數的分子減分母利用多項式的乘法法則整理后,將表示出的a與c代入,根據d不為0,得到完全平方式大于0,可得其差小于0,即分子小于分母,可得真數小于1大于0,根據底數為2,利用對數函數的圖象與性質可得對數值小于0,即f(a)+f(c)-2f(b)小于0,即可得證.
解答:解:(1)因為f(1),f(2),f(4)成等差數列,所以2f(2)=f(1)+f(4),
即:2log
2(2+m)=log
2(1+m)+log
2(4+m),即log
2(2+m)
2=log
2(1+m)(4+m),得
(2+m)
2=(1+m)(4+m),得m=0.
(2)若a、b、c是兩兩不相等的正數,且a、b、c依次成等差數列,
設a=b-d,c=b+d,(d不為0);
f(a)+f(c)-2f(b)=log
2(a+m)+log
2(c+m)-2log
2(b+m)=log
2因為(a+m)(c+m)-(b+m)
2=ac+(a+c)m+m
2-(b+m)
2=b
2-d
2+2bm+m
2-(b+m)
2=-d
2<0
所以:0<(a+m)(c+m)<(b+m)
2,
得0<
<1,得log
2<0,
所以:f(a)+f(c)<2f(b).
點評:此題考查了等差數列的性質,對數的運算性質,以及等差數列的通項公式,利用了轉化的思想,其中第二問比較大小的方法是作差法,此方法是比較大小經常運用的方法,應熟練掌握.