Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足點（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x圖象上，{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₅，b₂+a₃=-1
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點（n，s_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x的圖象上得到數(shù)列遞推式S_n=n²-8n，由a_n=s_n-s_n-1=求得數(shù)列的通項公式．再由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=a₅=1，b₂=2求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式求得b_n；
（2）把b_n=2^n-1代入c_n=n•b_n，然后由錯位相減法求得數(shù)列的前項n和T_n．

解答： 解：（1）∵點（n，s_n）在函數(shù)f（x）=x²-8x的圖象上，
∴S_n=n²-8n，
當(dāng)n=1時，a₁=s₁=-7，
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²-8n）-[（n+1）²-8（n+1）]=2n-9，
而a₁=-7滿足上式，
∴a_n=2n-9．
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁=a₅=1，b₂=2，
∴q=2，則b_n=2^n-1；
（2）c_n=n•b_n=n•2^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1．
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-2)•2n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．
兩式相減得：-Tn=2n-1-n•2n．
∴Tn=(n-1)•2n+1．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．