Question

已知函數(shù)f(x)=6cos2

ωx

2

+

3

sinωx-3(ω＞0)，在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若f(x0)=

8 3

5

，且x0∈(-

10

3

，

2

3

)，求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）化簡為f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

），由正三角形△ABC的高為2

3

可求得BC，從而可求得其周期，繼而可得ω
及函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

12

]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）由x₀∈（-

10

3

，

2

3

）可求得（

πx0

4

+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

），從而可求得cos（

πx0

4

+

π

3

），最后利用兩角和的正弦即可求得f（x₀+1）的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6cos2

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）
=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

sin（ωx+

π

3

），…3分
又由于正△ABC的高為2

3

，則BC=4，
∴函數(shù)f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

…5分
∴函數(shù)的值域為[-2

3

，2

3

]…6分
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

π

4

+

π

3

，

3

2

≤sin（

π

4

x+

π

3

）≤1，
3≤2

3

sin（

πx

4

+

π

3

）≤2

3

∴函數(shù)f（x）的值域為[3，2

3

]…（9分）
（Ⅲ）因為f（x₀）=

8 3

5

由（Ⅰ）有f（x₀）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

3

）=

8 3

5

，即sin（

πx0

4

+

π

3

）=

4

5

，
 
由x₀∈（-

10

3

，

2

3

）得：（

πx0

4

+

π

3

）∈（-

π

2

，

π

2

），
所以，cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-( 4 5 )2

=

3

5

…（11分）
故f（x₀+1）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

4

+

π

3

）=2

3

sin[（

πx0

4

+

π

3

）+

π

4

]=2

3

sin[（

πx0

4

+

π

3

）cos

π

4

+cos（

πx0

4

+

π

3

）sin

π

4

=2

3

（

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

）=

7 6

5

 …13分

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查三角函數(shù)間的關(guān)系式，考查分析，轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用的能力，屬于難題．