Question

在數列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求證：數列{a_n-2n+1}是等比數列；
（II）設數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（I）要證數列{a_n-2n+1}是等比數列，利用已知條件構造，只要證明

an+1- 2(n+1)+1

an-2n+1

=q即可
（II）由（I）可求a_n，通過比較a_n與a_n-1的大小研究數列的單調性，且通過且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，可知數列和的最小值

解答：解：（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴an=

1

3

(an-1+4n)，∴an+1-2(n+1)+1=

1

3

[an+4(n+1)]-2(n+1)+1=

1

3

an-

2n

3

+

1

3

=

1

3

(an-2n+1)，（4分）
∴a_n-2n+1是以-15為首項，

1

3

為公比的等比數列．（6分）
（II）∵an-2n+1=-15•(

1

3

)n-1，∴an=-15•(

1

3

)n-1+2n-1，
當n≥2時，an-an-1=2+10•(

1

3

)n-2＞0，
∴數列a_n是單調遞增數列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）
∴當且僅當n=2時，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）

點評：本題利用定義構造證明等比數列，結合等比數列的定義，構造兩項相除為定值的形式，做差法是比較兩式大小的常用方法，通過研究數列的單調性，求數列和的最值問題，是數列問題的常考類型，屬于綜合性試題．