Question

在平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別為（-1，0），（1，0）．設曲線C上任意一點P（x，y）滿足|PA|=λ|PB|（λ＞0且λ≠1）．
（1）求曲線C的方程，并指出此曲線的形狀；
（2）對λ的兩個不同取值λ₁，λ₂，記對應的曲線為C₁，C₂．
（i）若曲線C₁，C₂關于某直線對稱，求λ₁，λ₂的積；
（ii）若λ₂＞λ₁＞1，判斷兩曲線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得

(x+1)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

，由此能求出曲線C的方程，且曲線C是以（

λ2+1

λ2-1

，0）為圓心，

2λ

|λ2-1|

為半徑的圓．
（2）（i）由（1）知曲線c_i（i=1，2）是圓，當兩圓關于某直線對稱時，r₁=r₂，由此能求出λ₁λ₂=1．
（ii）由λ₂＞λ₁＞1，由已知條件推導出|O₁O₂|＜|r₂-r₁|，從而得到圓O₁與圓O₂的位置關系是內含．

解答： 解：（1）由題意得

(x+1)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

，
兩邊平方并整理，得曲線C的方程為：
（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-2（λ²+1）x+λ²-1=0，
∵λ＞0，且λ≠1，∴曲線C的方程可化為：
（x-

λ2+1

λ2-1

）²+y²=（

2λ

λ2-1

）²，
∴曲線C是以（

λ2+1

λ2-1

，0）為圓心，

2λ

|λ2-1|

為半徑的圓．
（2）（i）由（1）知曲線c_i（i=1，2）是圓，
設圓心O_i（

λi2+1

λi2-1

，0），半徑ri=

2λi

|λi2-1|

．
當兩圓關于某直線對稱時，r₁=r₂，
即

2λ1

|λ12-1|

=-

2λ2

|λ22-1|

，
∵λ₁≠λ₂，∴

2λ1

λ12-1

=-

2λ2

λ22-1

，
整理，得（λ₁λ₂-1）（λ₁+λ₂）=0，
∵λ₁，λ₂＞0，∴λ₁λ₂=1．
（ii）∵λ₂＞λ₁＞1，
∴|O₁O₂|=|

λ12+1

λ12-1

-

λ22+1

λ22-1

|
=

2(λ22-λ12)

(λ12-1)(λ22-1)

=

2(λ2-λ1)(λ1+λ2)

(λ12-1)(λ22-1)

，
|r₂-r₁|=|

2λ2

λ22-1

-

2λ1

λ12-1

|
=|

2(λ12-λ22λ1+λ1-λ2

(λ12-1)(λ12-1)

|
=

2(λ2-λ1)(λ1λ2+1)

(λ12-1)(λ22-1)

，
又∵（λ₁+λ₂）-（λ₁λ₂+1）=-（λ₁-1）（λ₂-1）＜0，
∴|O₁O₂|＜|r₂-r₁|，
∴圓O₁與圓O₂的位置關系是內含．

點評：本題考查曲線方程的求法和曲線形狀的判斷，考查兩實數(shù)積的求法，考查兩圓位置關系的判斷，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．