Question

如圖，正三棱柱AC₁中，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，E是A₁C₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是B₁B中點(diǎn)，異面直線CF與DE所成的角為90°．

(1)求此三棱柱的高；

(2)求二面角C—AF—B的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，∴ 則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM·HC1， 解得HC1=，C1C=2． 另解：取AC中點(diǎn)O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C(0，1，0)，F(xiàn)()，D()，E(0，0，h)，∴，由CF⊥DE，得，解得h=2． (2)連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG， 由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B 的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=， 從而DG=，∴tan∠CGD=， 故二面角C—AF—B大小為arctan．