Question

1．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²+（2a-1）x．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[1，+∞）時恒有f（x）≤a-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的解析式，求出導數(shù)，令g（x）=1+lnx-x，求出導數(shù)，單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x≥1時，f（x）≤a-1，即為xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，討論x=1和x＞1，由參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），求出導數(shù)和單調(diào)性，即可判斷g（x）的單調(diào)性，可得a的范圍．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，x＞0．
f（x）的導數(shù)為f′（x）=1+lnx-x，
令g（x）=1+lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
當x＞1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當0＜x＜1時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有g(shù)（x）在x=1處取得極大值，且為最大值0．
則g（x）≤0，即1+lnx-x≤0，
即f′（x）≤0，則f（x）在（0，+∞）遞減．
綜上可得，f（x）的減區(qū)間為（0，+∞），無增區(qū)間；
（2）當x≥1時，f（x）≤a-1，
即為xlnx-ax²+（2a-1）x≤a-1，
當x=1時，上式顯然成立．
當x＞1時，可得a≥$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$．
由$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$-1=$\frac{xlnx-（x-1）-（x-1）^{2}}{（x-1）^{2}}$，
設(shè)g（x）=xlnx-（x-1）-（x-1）²（x＞1），
g′（x）=1+lnx-1-2（x-1）=lnx-2（x-1），
由g″（x）=$\frac{1}{x}$-2＜0在x＞1恒成立，
可得g′（x）在（1，+∞）遞減，可得g′（x）＜g′（1）=0，
即g（x）在（1，+∞）遞減，可得g（x）＜g（1）=0，
則$\frac{xlnx-x+1}{（x-1）^{2}}$＜1成立，
即有a≥1．
即a的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，求得導數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．