Question

如圖，正方體AC₁
（1）在BD上確定一點E，使D₁E∥面A₁C₁B；
（2）求直線BB₁和面A₁C₁B所成角的正弦值；
（3）求面A₁C₁B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

解：（1）連接AC，B₁D₁，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接D₁O，O₁B，則
∵D₁O₁=BO，D₁O₁∥BO，∴四邊形D₁OBO₁是平行四邊形，
∴D₁O∥O₁B
∵D₁O?平面A₁C₁B，O₁B?平面A₁C₁B，
∴D₁O∥面A₁C₁B；
∴BD上存在中點E，使D₁E∥面A₁C₁B；
（2）連接B₁D，則B₁D⊥面A₁C₁B，設垂足為G，則∠GBB₁為直線BB₁和面A₁C₁B所成角
∵B₁G=B₁D=BB₁，
∴直線BB₁和面A₁C₁B所成角的正弦值為；
（3）∵△A₁C₁B在底面ABCD中的射影為△ACB
∴面A₁C₁B與底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值為=
∴面A₁C₁B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．
分析：（1）連接AC，B₁D₁，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連接D₁O，O₁B，則可證D₁O∥面A₁C₁B，即可得到結論；
（2）連接B₁D，則B₁D⊥面A₁C₁B，設垂足為G，則∠GBB₁為直線BB₁和面A₁C₁B所成角，即可求解；
（3）△A₁C₁B在底面ABCD中的射影為△ACB，則面A₁C₁B與底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值為，從而可得結論．
點評：本題考查線面平行，考查線面角，面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．