Question

16．某中學(xué)為了解高一年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育情況，對(duì)全校1400名高一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查，測(cè)得一組樣本的身高（單位：cm）頻數(shù)分布表如表1、表2．
表1：男生身高頻數(shù)分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
頻數(shù)	2	5	11	4	5	3

表2：女生身高頻數(shù)分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
頻數(shù)	2	8	15	12	2	1

（I）估計(jì)該校高一女生的人數(shù)：
（II）估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率；
（III）以樣本頻率為概率，現(xiàn)從高一年級(jí)的男生和女生中分別選出1人，設(shè)X表示身高在[165，180）的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）由表1、表2求得樣本容量以及樣本中男女生人數(shù)，求出高一女生人數(shù)；
（II）用頻率估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率；
（III）由題意知X的可能取值，求出對(duì)應(yīng)的概率值，
寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（I）由表1和2可得，樣本容量為70，樣本中男女生人數(shù)分別為30，40，
則高一女生人數(shù)為1400×$\frac{40}{70}$=800，
因此估計(jì)該校高一女生人數(shù)為800；
（II）由表1和2可得樣本中男女生身高在[165，180）的人數(shù)為：
5+11+4+12+2+1=35，樣本容量為70，
所以樣本中該校學(xué)生身高在[165，180）的概率為P=$\frac{35}{70}$=$\frac{1}{2}$，
即估計(jì)該校學(xué)生身高在[165，180）的概率為$\frac{1}{2}$；
（III）由題意可得，X的可能取值為0，1，2，
由表格可知，女生身高在[165，180）的概率為$\frac{15}{40}$=$\frac{3}{8}$，
男生身高在[165，180）的概率為$\frac{20}{30}$=$\frac{2}{3}$，
所以P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{3}{8}$）=$\frac{5}{24}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{3}{8}$）+（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{3}{8}$=$\frac{10}{24}$+$\frac{3}{24}$=$\frac{13}{24}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{6}{24}$；
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{5}{24}$	$\frac{13}{24}$	$\frac{6}{24}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{5}{24}$+1×$\frac{13}{24}$+2×$\frac{6}{24}$=$\frac{25}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布表與離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．