Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n+2n=2a_n
（1）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），設(shè)T_n是數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項和．求證：Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．當(dāng)n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能夠證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．并能求出數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，故Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，由此利用錯位相減法能夠求出T_n，并證明Tn＜

3

2

．

解答：證明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
當(dāng)n∈N^*時，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1 時，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當(dāng)n≥2，n∈N^*時，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）證明：由b_n=log₂（a_n+2）=log22n+1=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

 +

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

  ④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2 n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
所以 Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

＜

3

2

．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明和求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，Tn＜

3

2

．解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．