Question

（2013•德州一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=

3

，AC與BD交于O點，H為OC的中點．
（1）求證PH⊥平面ABCD；
（2）求側面PAB與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意，可先證PH與平面ABCD中的兩條相交直線垂直，再由定理得出線面垂直；
（2）由題設，可建立以O為原點，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量，運用空間向量的夾角公式求出兩個平面的夾角余弦值．

解答：解：（1）證明：連接OP，因為PB=PD，
所以OP⊥BD．
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
又因為OP∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．
又PH?平面PAC，所以BD⊥PH．
在直角三角形POB中，OB=1，PB=2，所以OP=

3

，又PC=

3

，H為OC的中點，所以PH⊥OC
又因為BD∩OC=O，以PH⊥平面ABCD．
（2）解：過點O作OZ∥PH，所以OZ⊥平面ABCD
如圖，以O為原點，OA，OB，OZ所在直線為x，y，z軸建立空間坐標系，可得A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（-

3

2

，0，

3

2

）
所以

AB

=（-

3

，1，0），

AP

=（-

3 3

2

，0，

3

2

）
設

n

=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則

n • AB =0  n • AP =0

，即

- 3 x+y=0 - 3 3 2 x+ 3 2 z=0

令x=1，則平面PAB的一個法向量為

n

=（1，

3

，

3

）
由（1）知，PH⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量是

m

=（0，0，1）
所以cos＜

m

，

n

＞=

3

7

=

21

7

所以側面PAB與底面ABCD所成的二面角的余弦值為

21

7

點評：本題考查線面垂直的證明與二面角的求法，熟練掌握線面垂直的定理及用空間向量求二面角的原理是解答的關鍵，利用空間向量研究二面角是高考考查的重點，學習時應注意梳理此方法求二面角的過程，明了其解答原理