Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3
（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）討論

1

e

與區(qū)間[t，t+2]（t＞0）的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性就看得出；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤

3

x

+x+2lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(

3

x

+x+2lnx)min，x∈（0，+∞）．
利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可．
（3）變形為：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立?(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．利用導(dǎo)數(shù)分別求出即可．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．∴f（x）在(0，

1

e

)上單調(diào)遞減，在(

1

e

，+∞)上單調(diào)遞增．
∵x∈[t，t+2]（t＞0），
①當(dāng)

1

e

≤t時，f（x）在[t，t+2]（t＞0）上單調(diào)遞增，∴f（x）在x=t時取得最小值，f（t）=tlnt；
②當(dāng)t＜

1

e

＜t+2時，f（x）在x=

1

e

取得最小值，f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，即-x²+ax-3≤2xlnx≤0，x∈（0，+∞）．
?a≤

3

x

+x+2lnx恒成立，x∈（0，+∞）．?a≤(

3

x

+x+2lnx)min，x∈（0，+∞）．
令u（x）=x+

3

x

+2lnx，x∈（0，+∞）．
則u′(x)=1-

3

x2

+

2

x

=

x2+2x-3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

，可知當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，u（x）取得最小值，且u（1）=4．
∴a≤4．
（3）對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立?(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．
令u(x)=

x

ex

-

2

e

，（x＞0）．
∵u′(x)=

1-x

ex

，可知當(dāng)且僅當(dāng)x=1，u（x）取得最大值，且u（1）=-

1

e

．
由（1）可知：（xlnx）_min（x＞0）=-

1

e

，而f(

1

e

)=-

1

e

＞u(1)．
因此(xlnx)min＞(

x

ex

-

2

e

)max．
即對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分離參數(shù)法、等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．