【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;
(2)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍,并證明.
【答案】(1)當(dāng)時, 在處取得的極大值;函數(shù)無極小值. (2)證明見解析
【解析】試題分析:(1)求出,令求得 的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,令求得 的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間,從而可得函數(shù)的極值;(2)對進(jìn)行討論: , , , ,針對以上四種情況,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性討論函數(shù)有兩個零點情況,排除不是兩個零點的情況,可得有兩個零點時, 的取值范圍是,由(1)知在單調(diào)遞減,故只需證明即可,又,只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
試題解析:(1)由得,
當(dāng)時, ,若;若 ,
故當(dāng)時, 在處取得的極大值;函數(shù)無極小值.
(2)當(dāng)時,由(1)知在處取得極大值,且當(dāng)趨向于時, 趨向于負(fù)無窮大,又有兩個零點,則,解得.
當(dāng)時,若;若;若,則在處取得極大值,在處取得極小值,由于,則僅有一個零點.
當(dāng)時, ,則僅有一個零點.
當(dāng)時,若;若;若,則在處取得極小值,在處取得極大值,由于,則僅有一個零點.
綜上, 有兩個零點時, 的取值范圍是.
兩零點分別在區(qū)間和內(nèi),不妨設(shè).
欲證,需證明,
又由(1)知在單調(diào)遞減,故只需證明即可.
,
又,
所以,
令,則,
則在上單調(diào)遞減,所以,即,
所以.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時,證明: ;
(2)當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,求的取值范圍.
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【題目】借助計算器填寫下表:
0 | ||||
1 | ||||
10 | ||||
20 | ||||
30 | ||||
50 | ||||
70 | ||||
100 | ||||
150 | ||||
200 | ||||
250 | ||||
300 |
觀察表中的變化并歸納各函數(shù)遞增的規(guī)律:
(1)一次函數(shù)與冪函數(shù)之間比較得出的規(guī)律;
(2)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間比較得出的規(guī)律;
(3)指數(shù)函數(shù)與之間比較得出的規(guī)律.
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【題目】已知等比數(shù)列滿足,數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列, 的通項公式;
(2)令,求數(shù)列的前項和;
(3)若,求對所有的正整數(shù)都有成立的的取值范圍.
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【題目】某地居民用水采用階梯水價,其標(biāo)準(zhǔn)為:每戶每月用水量不超過15噸的部分,每噸3元;超過15噸但不超過25噸的部分,每噸4.5元;超過25噸的部分,每噸6元.
(1)求某戶居民每月需交水費(元)關(guān)于用水量(噸)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若戶居民某月交水費67.5元,求戶居民該月的用水量.
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【題目】某校為了增強學(xué)生的記憶力和辨識力,組織了一場類似《最強大腦》的 PK 賽,兩隊各由 4 名選手組成,每局兩隊各派一名選手PK,比賽四局.除第三局勝者得2分外,其余各局勝者均得1分,每局的負(fù)者得0分.假設(shè)每局比賽A隊選手獲勝的概率均為,且各局比賽結(jié)果相互獨立,比賽結(jié)束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過點,且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知A(0,b),B(a,0),點P是橢圓C上位于第三象限的動點,直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N,求證:|AN||BM|為定值.
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【題目】M是正方體的棱的中點,給出下列四個命題:①過M點有且只有一條直線與直線都相交;②過M點有且只有一條直線與直線都垂直;③過M點有且只有一個平面與直線都相交;④過M點有且只有一個平面與直線都平行;其中真命題是( )
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
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