已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=
12
x+b
與C交于A、B兩點,O為坐標原點.
(I)求實數(shù)b的取值范圍.
(II)是否存在實數(shù)b,使得直線OA、OB傾斜角之和等于135°?若存在,求出實數(shù)b的值;若不存在,說明理由.
分析:(I)拋物線C:y2=4x與直線l:y=
1
2
x+b
聯(lián)立,利用判別式大于0,即可求實數(shù)b的取值范圍.
(II)把直線方程與拋物線方程聯(lián)立,設(shè)直線OA,OB的傾斜角分別為α,β,斜率分別為k1,k2,則α+β=135°,tan(α+β)=tan135°=-1,由此可得結(jié)論.
解答:解:(I)拋物線C:y2=4x與直線l:y=
1
2
x+b
聯(lián)立,消去y可得x2+(4b-16)x+4b2=0
∴△=-128b+256>0,∴b<2;
(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-4b-16,x1x2=4b2,
設(shè)直線OA,OB的傾斜角分別為α,β,斜率分別為k1,k2,
則α+β=135°,tan(α+β)=tan135°=-1,
kOA+kOB
1-kOAkOB
=-1
∴kOA+kOB-kOAkOB+1=0
y1
x1
+
y2
x2
-
y1
x1
y2
x2
+1=0
7
4
x1x2+
b
2
(x1+x2)-b2=0
7
4
×4b2+
b
2
(-4b-16)-b2=0
∴b=-2或b=0(舍去)
經(jīng)檢驗,b=-2時符合題意.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點. A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M(O為坐標原點).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過M作MN⊥FA,垂足為N,求點N的坐標;
(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點P(m,0)是x軸上的一個動點,試討論直線AP與圓M的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2px(p>0),F(xiàn)為拋物線C的焦點,A為拋物線C上的動點,過A作拋物線準線l的垂線,垂足為Q.
(1)若點P(0,4)與點F的連線恰好過點A,且∠PQF=90°,求拋物線方程;
(2)設(shè)點M(m,0)在x軸上,若要使∠MAF總為銳角,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=2Px(p>0)上橫坐標為4的點到焦點的距離為5.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=4x,點M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點,O為坐標原點.
(I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(II)問是否存在定點M,不論直線l繞點M如何轉(zhuǎn)動,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點,且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若
MA
MB
=0,則k=( �。�

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