Question

已知函數(shù)f(x)=

x x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，g(x)=asin(

π

3

x+

3π

2

)-2a+2(a＞0)，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="4iim9ap" class="MathJye">[0，

1

3

]；
②函數(shù)g（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
③對(duì)任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

5

9

≤a≤

4

5

．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①當(dāng)x∈(

1

2

，1]時(shí)，利用f（x）=

x

x+2

=1-

2

x+2

單調(diào)遞增，可得f(

1

2

)＜f(x)≤f(1)．
當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

4

，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得f(

1

2

)≤f(x)≤f(0)．
即可得到函數(shù)f（x）的值域．
②利用誘導(dǎo)公式可得g（x）=-acos

π

3

x-2a+2，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出g（x）在[0，1]上單調(diào)性．
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解，
則必須滿(mǎn)足f（x）的值域[0，

1

3

]⊆{g（x）|x∈[0，1]}．解出判定即可．
④存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則

g(x)min≤f(x)max g(x)max≥f(x)min

解出即可．

解答： 解：①當(dāng)x∈(

1

2

，1]時(shí)，f（x）=

x

x+2

=1-

2

x+2

單調(diào)遞增，∴f(

1

2

)＜f(x)≤f(1)，即

1

5

＜f(x)≤

1

3

．
當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，由函數(shù)f（x）=-

1

2

x+

1

4

單調(diào)遞減，∴f(

1

2

)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤

1

4

．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="xfgzhy4" class="MathJye">[0，

1

3

]．因此①正確．
②g（x）=-acos

π

3

x-2a+2，∵x∈[0，1]，∴0≤

πx

3

≤

π

3

，因此cos

πx

3

在[0，1]上單調(diào)遞減，
又a＞0，∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，因此正確．
③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴-3a+2≤g(x)≤-

5

2

a+2．
若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]內(nèi)恒有解，
則必須滿(mǎn)足f（x）的值域[0，

1

3

]⊆{g（x）|x∈[0，1]}．
∴-3a+2≤0，-

5

2

a+2≥

1

3

，解得a=

2

3

，因此③不正確；
④存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則

g(x)min≤f(x)max g(x)max≥f(x)min

由③可知：g(x)max=g(1)=-

5

2

a+2，g（x）_min=g（0）=-3a+2，
∴-3a+2≤

1

3

，-

5

2

a+2≥0，解得

5

9

≤a≤

4

5

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是

5

9

≤a≤

4

5

．正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于難題．