Question

已知3

3

是9^m與3ⁿ的等比中項(xiàng)，且m，n均為正數(shù)，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先根據(jù)等比中項(xiàng)的定義求出m與n的等量關(guān)系即2m+n=3，再利用“1”的代換，展開后利用基本不等式可求最小值．

解答： 解：∵3

3

是9^m與3ⁿ的等比中項(xiàng)，
∴9^m•3ⁿ=（3

3

）²，
即3^2m+n=3³，即2m+n=3，
∴

1

m

+

1

n

=

1

3

（

1

m

+

1

n

）（2m+n）=

1

3

（3+

n

m

+

2m

n

）≥

1

3

(3+2

2

)，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

2

m時(shí)取等號(hào)
∴

1

m

+

1

n

的最小值為

1

3

(3+2

2

)．
故答案為：

1

3

(3+2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，以及利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是要對(duì)所求的式子進(jìn)行配湊成符合基本不等式的條件即是進(jìn)行了1的代換，屬于中檔題．