Question

5．如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，點(diǎn)D，E分別是AA₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：DE∥平面A₁B₁C；
（Ⅱ）若AB=2，∠BAC=60°，求三棱錐A₁-BDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF、EF，推導(dǎo)出平面DEF∥平面A₁B₁C，由此能證明DE∥平面A₁B₁C．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A₁作AC的垂線，垂足為H，推導(dǎo)出A₁H⊥底面ABC，由${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$，能求出三棱錐A₁-BDE的體積．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)DF、EF，
在△AA₁C中，點(diǎn)D、F分別是AA₁、AC的中點(diǎn)，∴DF∥$\frac{1}{2}$A₁C，
同理，得：EF∥$\frac{1}{2}AB$∥$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$，DF∩EF=F，A₁C∩A₁B₁=A₁，
∴平面DEF∥平面A₁B₁C，
又DE?平面DEF，
∴DE∥平面A₁B₁C．
解：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A₁作AC的垂線，垂足為H，由題知側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，
∴A₁H⊥底面ABC，在△AA₁C中，∵∠A₁AC=60°，AC=2AA₁=4，∴A₁H=$\sqrt{3}$，
∵AB=2，∠BAC=60°，∴BC=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=$\sqrt{3}$，${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}•AB•BE=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∵D為AA₁的中點(diǎn)，
∴${V}_{{A}_{1}-BDE}={V}_{{A}_{1}-ABE}-{V}_{D-ABE}$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}H×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{6}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．