Question

已知y=f（x）的定義域?yàn)閇1，4]，f（1）=2，f（2）=3．當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）的圖象為線段；當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）的圖象為二次函數(shù)圖象的一部分，且頂點(diǎn)為（3，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f（x）的圖象為線段，由此能求出x∈[2，4]時(shí)，f（x）的圖象為二次函數(shù)的一部分，且頂點(diǎn)為（3，1），由此能求出f（x）=2（x-3）²+1．
（2）當(dāng)x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，當(dāng)x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，由此能求出f（x）的值域．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)f（x）的圖象為線段，
設(shè)f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3
∵a+b=2，2a+b=3，
解得a=1，b=1，f（x）=x+1，
當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）的圖象為二次函數(shù)的一部分，
且頂點(diǎn)為（3，1），
設(shè)f（x）=a（x-3）²+1，又f（2）=3，
所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x-3）²+1．
（2）當(dāng)x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，
當(dāng)x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，
所以1≤f（x）≤3．
故f（x）的值域?yàn)閇1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式和函數(shù)的值域的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．