Question

已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2t-1 y=-4t-2

（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=

2

1-cosθ

（Ⅰ）求證：曲線C₂的直角坐標方程為y²-4x-4=0；
（Ⅱ）設M₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，求|M₁M₂|的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把ρ=

2

1-cosθ

變形，得到ρ=ρcosθ+2，結合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；
（Ⅱ）由

x=2t-1 y=-4t-2

消去t得到曲線C₁的直角坐標方程為2x+y+4=0，由M₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，把|M₁M₂|的最小值轉化為M₂到直線2x+y+4=0的距離的最小值．設M2(r2-1，2r)，然后由點到直線的距離公式結合基本不等式求解．

解答： （Ⅰ）證明：∵ρ=

2

1-cosθ

，∴ρ-ρcosθ=2，即ρ=ρcosθ+2．
∴ρ²=（x+2）²，即x²+y²=x²+4x+4，
化簡得：y²-4x-4=0；
（Ⅱ）解：∵

x=2t-1 y=-4t-2

，消去t得：2x+y+4=0．
∴曲線C₁的直角坐標方程為2x+y+4=0．
∵M₁是曲線C₁上的點，M₂是曲線C₂上的點，
∴|M₁M₂|的最小值等于M₂到直線2x+y+4=0的距離的最小值．
設M2(r2-1，2r)，M₂到直線2x+y+4=0的距離為d，
則d=

2|r2+r+1|

5

=

2[(r+ 1 2 )2+ 3 4 ]

5

≥

3

2 5

=

3 5

10

．
∴|M₁M₂|的最小值為

3 5

10

．

點評：本題考查了簡單曲線的極坐標方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了點到直線的距離公式的應用，是基礎的計算題．