Question

如下圖,已知橢圓=1(其中a＞b＞0),點P為其上一點,F₁、F₂為焦點,  ∠F₁PF₂的外角平分線為l,點F₂關(guān)于l的對稱點為Q,F₂Q交l于點R.

(1)當P點在橢圓上運動時,求R的軌跡方程;

(2)設(shè)點R形成的曲線為C,直線l′:y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點,△AOB的面積為S,求S取得最大值時k的值.

Answer 1

(1)解法一:連結(jié)PQ,

∵F₂、Q關(guān)于l對稱,

∴∠F₂PR=∠QPR,F₂R=QR,PF₂=PQ.

又l為∠F₁PF₂的外角平分線,故點F₁、P、Q在同一直線上.

設(shè)R(x₀,y₀),Q(x₁,y₁),F₁(－c,0), F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|F₂P|=2a.

則(x₁+c)²+y₁²=(2a)²,x₀=,y₀=.

∴x₁=2x₀－c,y₁=2y₀.

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)².

∴x₀²+y₀²=a².

故R的軌跡方程為x²+y²=a²(y≠0).

解法二:同解法一得F₁、P、Q共線.

連結(jié)OR.

∵|F₁O|=|OF₂|,|F₂R|=|RQ|,

∴|OR|=|F₁Q|=(|PF₁|+|PF₂|)=a,

即R的軌跡是以O為原點,a為半徑的圓.

又P、R不在x軸上,

∴R的軌跡方程為x²+y²=a²(y≠0).

(2)解:∵S_△AOB=·|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB,

當∠AOB=時,S_△AOB的最大值為a².

此時弦心距|OC|=.

∵=cos∠AOC=cos=,

∴a.

∴k=±.

點評:求動點的軌跡方程主要有兩種方法:挖掘等式列出方程,或先判斷點的軌跡然后求方程.通過本例讀者應(yīng)深刻體會,熟練掌握.