Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=2，a_n+1=S_n-n+2．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

n

Sn-n+1

的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用公式n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，兩式作差即可求得通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的和即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）a_n+1=S_n-n+2，①
n≥2時，a_n=s_n-1-（n-1）+2，②
由①-②得，a_n+1-a_n=a_n-1，即a_n+1=2a_n-1，
即a_n+1-1=2（a_n-1），
又∵a₁=2，∴a₂=s₁-1+2=3，
∴a_n-1≠0，∴

an+1-1

an-1

=2（n≥2），
∴數(shù)列{a_n-1}是首項為a₂-1=2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2^n-1，即a_n=2^n-1+1（n≥2），
又a₁=2，滿足上式，
∴a_n=2^n-1+1（n∈N^*）．
（2）∵a_n+1=S_n-n+2，
∴s_n=a_n+1+n-2=2ⁿ+1+n-2=2ⁿ+n-1，
∴b_n=

n

Sn-n+1

=n•(

1

2

)n，
∴T_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，

1

2

T_n=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，
兩式相減得

1

2

T_n=1•

1

2

+1•(

1

2

)2+1•(

1

2

)3+…+1•(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2

2n

-

n

2n

=2-

2+n

2n

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及數(shù)列通項公式和數(shù)列求和的方法等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬難題．