Question

正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)、(π，0)、(－π，0)成中心對(duì)稱圖形．結(jié)合正弦函數(shù)的圖像，你發(fā)現(xiàn)正弦曲線還有其他對(duì)稱中心嗎？

Answer 1

答案：
解析：

由于正弦函數(shù)是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 　　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點(diǎn)，則y0＝sinx0． 　　那么點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)(π，0)的對(duì)稱點(diǎn)為M(2π－x0，－y0)， 　　∵sin(2π－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2π－x0)＝－y0， 　　即點(diǎn)M(2π－x0，－y0)也在正弦函數(shù)y＝sinx的圖像上． 　　又∵點(diǎn)P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點(diǎn)， 　　∴正弦曲線關(guān)于(π，0)成中心對(duì)稱圖形． 　　同理可證正弦曲線關(guān)于(－π，0)成中心對(duì)稱圖形． 　　如圖所示，觀察正弦函數(shù)的圖像，可歸納，得原點(diǎn)、(±π，0)都是正弦曲線與x軸的交點(diǎn)，可猜想正弦曲線與x軸的交點(diǎn)(kπ，0)(k∈Z)都是正弦曲線的對(duì)稱中心． 　　證明：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點(diǎn)，則y0＝sinx0． 　　則點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于點(diǎn)(kπ，0)的對(duì)稱點(diǎn)M(2kπ－x0，－y0)， 　　∵sin(2kπ－x0)＝－sinx0， 　　∴sin(2kπ－x0)＝－y0， 　　即點(diǎn)M(2kπ－x0，－y0)也在正弦函數(shù)y＝sinx圖像上． 　　∵點(diǎn)P(x0，y0)是正弦函數(shù)y＝sinx圖像上任意一點(diǎn)， 　　∴正弦曲線關(guān)于(kπ，0)成中心對(duì)稱圖形． 　　綜上可得，正弦曲線的對(duì)稱中心是正弦曲線與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值為0；并且任意相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心正好相差半個(gè)周期．