已知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4,則使不等式
1
x
+
4
y
≥m
恒成立的實數(shù)m的范圍是
 
分析:由題意將x+y=4代入
1
x
+
4
y
進行恒等變形和拆項后,再利用基本不等式求出它的最小值,根據(jù)不等式恒成立求出m的范圍.
解答:解:由題意知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=4,
1
x
+
4
y
=
x+y
4x
+
x+y
y
=
5
4
+
y
4x
+
x
y
5
4
+1=
9
4
,當
y
4x
=
x
y
時取等號;
1
x
+
4
y
的最小值是
9
4

∵不等式
1
x
+
4
y
≥m
恒成立,∴m≤
9
4

故答案為:m≤
9
4
點評:本題考查了利用基本不等式求最值和恒成立問題,利用條件進行整體代換和合理拆項再用基本不等式求最值,注意一正二定三相等的驗證.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于問題:“已知兩個正數(shù)x,y滿足x+y=2,求
1
x
+
4
y
的最小值”,給出如下一種解法:
Qx+y=2,∴
1
x
+
4
y
=
1
2
(x+y)(
1
x
+
4
y
)
=
1
2
(5+
y
x
+
4x
y
)
,
Qx>0,y>0,∴
y
x
+
4x
y
≥2
y
x
4x
y
=4
,∴
1
x
+
4
y
1
2
(5+4)=
9
2
,
當且僅當
y
x
=
4x
y
x+y=2
,即
x=
2
3
y=
4
3
時,
1
x
+
4
y
取最小值
9
2

參考上述解法,已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,則
1
A
+
9
B+C
的最小值為
16
π
16
π

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已知兩個正數(shù)a,b滿足a+b=ab,則a+b的最小值為


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    4
  4. D.
    2數(shù)學(xué)公式

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