Question

（本小題滿分14分）已知函數y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是函數y=f（x）的一個不動點，設二次函數f（x）=ax2+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）當a=2，b=1時，求函數f（x）的不動點；

（Ⅱ）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個不同的不動點，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數y=f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且直線是線段AB的垂直平分線，求實數b的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）當時，，解得，，所以函數的不動點為.

（2）因為對于任意實數，函數有兩個不同的不動點，所以對于任意實數，方程恒有兩個不相等的實根，即方程恒有兩個不相等的實根，所以，即對于任意實數，，所以，解得。

（3）設函數的兩個不動點為，則，且是方程的兩個不等根，所以，直線的斜率為，線段的中點坐標為，因為直線是線段的垂直平分線，所以，且在直線上，則，，所以，當且僅當時等號成立，又，所以實數的取值范圍是。

考點：新定義問題、函數與方程、直線方程、基本不等式。